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数学科吉田信夫先生執筆　高校数学で議論する極限的数論入門

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「理系への数学」連載概要

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「理系への数学」（現代数学社）２０１０年５月号～２０１１年５月号連載

高校数学で議論する極限的数論入門

タイトル		掲載号	概要
１．多角数と無限積	１．１．無限積について	２０１０年５月号	無限積の収束条件について考え、無限積で表されたkが実数として存在することを示す。また、極限で定義される数e (自然対数の底)についても考察する。
	１．２．無限積の展開	２０１０年６月号	まず、“無限積の展開”の例を与える。主題は、無限積を展開する公式：「オイラーの五角数定理」である。これにより，kの値を概算する。
	１．３．無理性とp進展開について	２０１０年７月号	数kの無理性を示す。さらに、有理数のp進展開について考える。
２．超越数、代数的数と 　　集合の濃度	２．１．代数的数の四則演算	２０１０年８月号	代数的数の四則演算(有限回)で得られる数は代数的である。具体的な数で考えると当たり前と思えるこの事実を、一般的に示す。
	２．２．超越数に関する考察	２０１０年９月号	数を解析的に扱う。まず、“円周率π（パイ）が無理数であること”を示す阪大の入試問題を紹介する。さらに、eの超越性を証明する。
	２．３．集合の濃度について	２０１０年１０月号	“集合の濃度”の概念を導入し、“ほとんどすべての実数は超越数であること”などを解説していく。さらに、変わった関数の例から、直観が通じない世界を体験してもらう。特に、“関数の連続性”のイメージを覆したい。
	２．４．まとめ	２０１０年１１月号	２．超越数、代数的数と集合の濃度のまとめとして論証問題をいくつか扱う。また、特殊な集合、関数を紹介する。
３．カタラン数について	３．１．カタラン数が表すもの	２０１０年１２月号	カタラン数の漸化式を考え、カタラン数で表される場合の数をいくつか紹介する。
	３．２．二項係数の関係式	２０１１年１月号	数列としてカタラン数を考え、積分を用いても表記する。また、二項係数が満たす様々な関係式を紹介する。
	３．３．カタラン数と母関数	２０１１年２月号	カタラン数の母関数を与える。また、ある数列に関しても考察し、その意味を考え、さらに母関数も紹介する。
４．複素数の必要性	４．１．ベキ乗と複素数	２０１１年３月号	数のベキ乗を考える。関数x^r（xのr乗）の rの定義域や微分可能性を調べることから始め、z = (-1)^r（-1のr乗）のグラフを考える。
	４．２．素数と複素数	２０１１年４月号	素数に関する基本事項を挙げ、素数についての「ある性質」が複素数を用いて証明できることを紹介する。
	４．３．複素数経由での微積分	２０１１年５月号	三角関数が指数関数で表せることを利用して、複素数関数として微積分できることをみる。