<現役高校生対象 大学受験指導>【研伸館】予備校

<東大・京大・国公立大医学部現役合格者多数!> 現役高校生対象 大学受験指導 【研伸館】

数学科吉田信夫先生
執筆一覧

吉田信夫先生の執筆一覧(2016年4月2日更新)

主に「大学への数学(大数)」「理系への数学・現代数学」に執筆中です。

著書

著書のご購入に関しては、研伸館講師 著書の紹介をご覧ください。

大学入試数学での微分方程式練習帳

概要

  • 大学入試数学での微分方程式練習帳
  • 出版社:現代数学社
  • 品番:ISBN978-4-7687-0413-4
  • A5判/108頁/864円(税込)

内容紹介

微分方程式を1から学ぶための学習書で、数III全範囲を既習であれば読むことが出来ます。「東大京大医学部志望の高校生」と「微分方程式未習の大学生」が対象です。

  1. 例題の解説を通じた理論説明
  2. 演習用の問題を提供
  3. 丁寧な解答解説+補足
  4. 曲線の長さなどの補講

の4部構成で、最新の微分方程式入試問題に加え、過去に微分方程式が高校範囲であった頃の超難問までを掲載しています。

ガウスとオイラーの整数論 中学入試算数が語るもの

概要

  • ガウスとオイラーの整数論 中学入試算数が語るもの
  • 出版社:技術評論社
  • 品番:ISBN978-4774145488
  • 四六判/252頁/1,706 円(税込)

内容紹介

算数を例題にして初等整数論を紹介するという、斬新な本です。例題の多くは灘中の入試算数の問題ですが、大学入試でもよく登場するテーマが盛りだくさんですので、楽しく整数を勉強したい中学生、高校生にオススメです。

扱うテーマは

  • ガウス記号
  • 合同式
  • 二項定理
  • パスカルの三角形
  • フェルマーの小定理
  • オイラーの関数
  • オイラーの定理
  • フェルマーの最終定理(n = 4)

などで、なかなか本格的です。かなり噛み砕いていますので、気軽にチャレンジしてください。

複素解析の神秘性 複素数で素数定理を証明しよう!

概要

  • 複素解析の神秘性 複素数で素数定理を証明しよう!
  • 出版社:現代数学社
  • 品番:ISBN978–4–7687–0416–5
  • 四六判/206頁/2,160円(税込)

内容紹介

“素数の存在確率”のようなものを表現する素数定理は、証明が難しいことでも有名なのですが、本書の元になる論文は、「4ページで素数定理を証明しよう」という面白いものです。

その証明の詳細な解説と、複素解析の理論説明をすることが本書の目標です。高校数学IIIの確認からスタートして、大学1年レベルの解析学の知識を拝借しながら、複素解析の部分を丁寧に解説します。

数学IIIや解析学を勉強するモチベーションを高めることができると思います。

虚数と複素数から見えてくるオイラーの発想 e,i,πの正体

概要

  • 虚数と複素数から見えてくるオイラーの発想 e,i,πの正体
  • 出版社:技術評論社
  • 品番:ISBN978-4774149554
  • 四六判/200頁/1,706円(税込)

内容紹介

「(eのiπ乗)=-1」という有名な公式。どこかで見聞きしたことがあるかも知れません。これら3つの記号は、すべてオイラーが考えたものだと言われています。この公式を導くのに用いる公式は「オイラーの公式」と言います。この公式を、高校生にも理解できるように説明し、また、「実数の世界は複素数の一部が見えているだけ」という考え方を解説します。物理や化学のお話も少し絡めながら、オイラーの発想を実感してもらうようになっています。

具体例で親しむ高校数学からの極限的数論入門

概要

  • 具体例で親しむ高校数学からの極限的数論入門
  • 出版社:現代数学社
  • 品番:ISBN978-4-7687-0406-6
  • 四六判/211頁/1,944 円(税込)

内容紹介

数学雑誌「理系への数学」2010年5月号~2011年5月号での連載「高校数学で議論する極限的数論入門」を再編集しました。抽象的で難解な大学数学を、具体例を調べる道具として使ってみると、その理論の必要性を感じて、親しむことができます。特に、高校数学と密接に結びつき、高校生にも楽しんでもらえるテーマを多く選んでいるので、少し先の数学を垣間見るという楽しみ方もおすすめです。「eの超越性」や「複素素数」などは特に面白いですよ!

ニュートンとライプニッツの微分積分

概要

  • ニュートンとライプニッツの微分積分
  • 出版社:技術評論社
  • 品番:ISBN978-4774153872
  • 四六判/192頁/1,706円(税込)

内容紹介

数列と微分積分には密接な関係があります。ニュートンやライプニッツが微積分学を創始した時代、それらの区別は明確ではありませんでした。本書では、「差で和を考える」ことから始めて、「微分と階差数列」、「積分と和」、「微分方程式と漸化式」の関係などを、丁寧に解説します。ふつうに勉強していては気づかない深い部分でのつながりを垣間見ることで、数列と微積分の底力もアップするかも。

ユークリッド原論を読み解く ~数学の大ロングセラーになったわけ~

概要

  • ユークリッド原論を読み解く ~数学の大ロングセラーになったわけ~
  • 出版社:技術評論社
  • 品番:ISBN978-4774165363
  • 四六判/164頁/1,814円(税込)

内容紹介

ユークリッドの原論をご存知ですか?ユークリッドは、世界史ではエウクレイデスの名で知られていますね。その著書である原論は、古代ギリシャの数学書で、2000年以上の時を経てなおその価値が薄れない、聖書に次ぐベストセラーとしても有名なものです。古代の数学書とあなどることなかれ。「三平方の定理」「平行線の公理」「ユークリッドの互除法」「黄金比」「素数は無数に存在」「完全数」「円柱と円錐の体積比」など、現代人にとっても興味深い内容が盛りだくさん。そんな原論の特に面白いところを現代風に「超訳」しました。「語られる数学」とも言われる古代ギリシャの数学、現代との発想の違いもしっかり説明しています。読んだ翌日には友達に語りたくなるはず。

ようこそ線形代数へ ―予備校講師が教えるゼロからの行列・1次変換

概要

  • ようこそ線形代数へ ―予備校講師が教えるゼロからの行列・1次変換
  • 出版社:現代数学社
  • 品番:ISBN978-4768704400
  • 四六/253/2,160 円(税込)

内容紹介

線形代数は理系の大学1年生が学ぶ数学の1つで、行列・1次変換に関する理論を学びます。過去には数学Cとして高校数学に入っていましたが、それがなくなったため、行列・1次変換を全く知らずに大学生になる人が増加中です。本書は、数学C当時の内容から特に線形代数に直結する部分をピックアップして解説し、さらに、数学IIIの発展である解析分野とも融合する内容を扱っています。大学ではn次元での理論を展開しますが、本書は2次元をメインに扱っているので、意欲的な高校生でも十分に理解できるはずです。大学で線形代数を学ぶ前に、ぜひとも一読してもらいたい。

“数学ができる”人の思考法~数学体幹トレーニング60問

概要

  • “数学ができる”人の思考法~数学体幹トレーニング60問
  • 出版社:技術評論社
  • 品番:ISBN978-4774176772
  • 四六/256/1,814 円(税込)

内容紹介

いくら公式を覚えても問題が解けるようにならない…数学の勉強につきものの悩みです。ちょっと勉強するだけですぐにできるようになる人を見ると、自分には数学の才能がないと諦めてしまいそうです。ちょっと待ってください。数学の勉強は、覚えたモノを当てはめるだけといった、そんな堅苦しいものではありません。日常の問題と同じように、過去の経験をもとに自力で解決できるものです。その意味を知ってもらいたいと思って本書を執筆しました。算数から大学入試問題まで約60問。「いまさら算数?」と思うかも知れませんが、目が覚めるような問題がたくさんあります。公式を覚えたらどんどん問題が解けるようになる下地を作りたい方に。

雑誌掲載

タイトルにリンクが張られているものは、強者の戦略オフィシャルサイト『強者への道――コラムのページ』にその内容が掲載されています。

大学への数学

東京出版

和と戯れる (1)

2009年8月号

数列の和を求めさせる流れとして考えられるものを列挙した。2008、2009年のセンター試験で特殊な数列の問題が出題されたことが、きっかけとなっている。

和と戯れる (2)

2009年11月号

「和と戯れる(1)」の続編部分に加え、数列の図形化などにも触れている。考えられる“和を求めさせる流れ”をすべて挙げたつもりである。

2009年東大理科の問題は、数値評価の感覚の有無が、出来を大きく左右するものであった。過去の東大の問題で、数値評価に関連するものを解説した。

「数値評価(2)」をより深く掘り下げ、さらに、数列を利用する評価についても紹介した。本稿を通じて、数値評価の感覚を身につけてもらいたい。

平面上の格子点の配置について考える。多角形の内部にある格子点の個数を、少し高度な視点からも解説する。また、面積を利用した格子点の論証法を紹介する。

格子点の図形的考察(1)の内容を発展させ、2次曲線上の格子点、有理点について考える。それを通じて、双曲線と楕円の類似性を見る。

ゲーム理論や待ち行列理論などに確率は応用されている。それらの理論について、東大、京大で出題された問題などを通じて、高校数学で分かりやすく解説する。

3点を通る円はあるが、一般に4点を通る円は存在するとは限らない。楕円なら、4点(凸四角形の頂点)を通るものがあるだろうか? 通過領域の考え方を用いて、この問いに答える。

3次方程式を解く公式としては“カルダノの公式”がよく知られているが、本稿では、三角関数や双曲線関数の“3倍角の公式”を利用する方法を紹介する。また、発展内容として、“オイラーの公式”を用いれば、上記の2つで得られる解の表記が同一であると分かる、ということにも触れている。

2011年の阪大理系は、かなりハードな問題が多かった。これまでも重厚な「数論」の問題が出題されている。整数の問題を解くのに、数IIIの極限や平均値の定理を利用するようなものである。それらの“ちょっと大人”の数論について、丁寧に解説する。

平方数の逆数を無限に加えると? 「(πの2乗)÷6」になることを18世紀にオイラーが発見した。この無限級数の有界性証明について、粗い評価から始め、精度を上げる方法を紹介し、最終的にはギリギリの評価まで導く。

逆関数について、正しく理解しているだろうか?グラフの性質や微分の理論など、根本から丁寧に解説。最終的には2012年の神戸大学の問題の真の意味に迫る!

数IIIの極限は、大学数学から天下り的に与えられた定理を用いて議論しなければならない、ガンジガラメの分野である。勝手な解釈による論証は禁止!極限を雑に扱うとどんなしっぺ返しを喰らうのか、誤答例を挙げて説明していく。

2012年、数学界で大きな話題になった「ABC予想」。数論の重要な命題であるが、高校生でもその内容や重要性を理解することができる。つまり、大学入試問題として関連問題が出題される可能性もある。証明した(と言われている)のは京大の望月教授。京大受験生は要チェック!

現在のITを支える暗号技術。その理論が整数論に基づくことをご存知だろうか?意外にも素数が暗号の要なのである。「暗号とはいったい何なのか?」から始め、いまも現役のRSA暗号について解説していく。素数のありがたさを実感してもらいたい。

中学で学んだ作図。実はその発想が、図形問題を解く上で重要な役割を果たすことがある。東大・京大の問題を中心に、作図の発想が問題解決にどう働くか、丁寧に解説している。

4で割って1余る素数5,13,…と、3 余る素数3,7,…では、大きく性質が異なっている。合同式の基本的な論法を確認しつつ、「x^2≡- 1」の解法を考えことで、それを実感してもらう。

複素数と素数が関係していることを知っているだろうか?実は、4で割った余りが1、3の素数を区別するときに複素素数の概念が活躍する。素数を「2つの平方数の和」で表すことができるかを吟味し、素数の秘密に迫る。

1+2+4+8+……=-1という意味不明な現象が起こり得る。それを表現するためには「距離」の概念を拡大解釈する必要がある。普通のユークリッド距離(線分の長さ)以外にも、例えば、球面上の距離や碁盤の目状の街路での距離などがある。整数の世界に不思議な「距離」が導入された、と考えることで、表題の極限が意味を成す。

整数問題 灘中の算数から

2016年5月号

算数の問題の中には、高校生に解かせたい問題がたくさんある。その中から、整数問題をいくつかピックアップして解説している。大数に算数の解説が載るのは珍しいのではなかろうか。

理系への数学・現代数学

現代数学社

球面上で2点を結ぶ最短経路(測地線)に関して述べ、非ユークリッド幾何の1つ「球面幾何学」を紹介する。京都大の問題を例題として挙げている。

「距離の測り方」、「地図作成」の観点から、もう1つの非ユークリッド幾何の1つ「双曲幾何学」を紹介する。球面幾何学との比較を交えて丁寧に解説している。

最後に、「長さ」に関する面白い事実を2つ証明しています。

  1. 一定長さのヒモで囲まれる最大面積の図形
  2. ヒモの両端を天井に結んだときにできる曲線

離心率により2次曲線は統一できるが、無限遠点を経由しなければ2次曲線の挙動を見ることはできない。これを、球面への射影により見やすくする。また、その応用例も挙げる。

高校数学で議論する極限的数論入門 (1)~(13)

2010年5月号~2011年5月号

  1. 無限積-1)~3)
  2. 超越数-1)~4)
  3. カタラン数-1)~3)
  4. 複素数-1)~3)

面白い話題満載の連載です!

2次元で学ぶ 大学への線形代数入門 (1)~(16)

2012年5月号~2013年8月号

数Cの行列・1次変換をパワーアップした分野が、大学1年生で学ぶ線形代数。ベクトルや内積の概念を拡大解釈したり、外積を活用したり…。ベクトルを微分したり、積分に行列式を利用したり…。行列がn次になってしまい、多くの学生が躓いてしまうのです。本連載では、2次元を主に扱い、一般理論のイメージをつかんでもらいます。そして、抽象数学に進む人にも、応用的に数学を使う人にも、線形代数への嫌悪感を抱かせないようにします。高校生は、数Cを上空から見下ろせますよ!

東大・京大・国公立大医学部受験対策講座【E-Lecture】

東大・京大・医学部スパルタン

東大・京大・国公立大医学部現役合格者の成功法

強者の戦略オフィシャルサイト